Table des matières
Section 1 ........ Introduction
Section 2 ........ Le modèle de Hotelling et ses développements ultérieurs
Dasgupta et al : il y a bien équilibre cependant
Section 1
Introduction
Description générale
1.1 Trois sujets à approfondir en particulier :
§ Existence et optimalité des équilibres
§ Comportements stratégies et barrières à l'entrée
§ Asymétries d'information, externalités et quasi-rationalité
1.2 Prochain cours a priori les 18 et 25 janvier en A309.
Notation
1.3 Sur la base d'un dossier d'une dizaine de pages, portant sur un des articles discutés en classe ou présenté dans la bibliographie (une douzaine d'articles, dont neuf environ seront discutés en classe). Les élèves choisissent un de ces articles librement ; ils doivent présenter l'article et en décrire les implications ultérieures (impulsion donnée à la recherche en économie par la suite)
1.4 Ces articles datent des années 1980, et font partie des « classiques modernes », pour les trois sujets respectifs, notamment :
§ D'Aspremont, Gabsiewicz, et Thisse (1979) [1] avec la reprise de Hotelling
§ Shapiro, Spence (1977), Dixit (1980), Milgrom-Roberts (1982), Aghion-Bolton (1987)
§ Laffont-Tirole, Spence, Rothschild-Sitglitz, Akerlof-Yallen, Katz-Shapiro
1.5 Trois articles liés par exemple :
§ Un article de Hotelling (1928), Stability and Competition
§ Un article de d'Aspremont, Gabsiewicz et Thisse (1979)
§ Dasgupta et Maskin (1986)
1.6 Ces trois articles voient les problèmes se développer, et sont aussi d'une complexité croissante. Hotelling : il y a stabilité ; puis d'Aspremont : il n'y a pas stabilité ; puis Dasgupta : il y a stabilité, le tout avec des moyens différents.
1.7 1er cas (emplacement fixe) : le consommateur va décider d'aller acheter selon la distance vers A ou B et selon les prix proposés par A ou par B.
1.8 Il existe un coût de transport, puisqu'il est pénible de marcher le long de la plage. Le coût est c * distance.
Section 2 Le modèle de Hotelling et ses développements ultérieurs
Le modèle de Hotelling
2.1 Présentation de base du modèle de Hotelling, et importance pour l'économie. Sa critique par d'Aspremont et al., et les résultats supplémentaires. Une comparaison avec la réalité. Enfin, apport d'Asgupta.
Idée de Hotelling
2.2 Tous les consommateurs sont représentés le long d'une ligne, de longueur L. Par exemple, une plage où les consommateurs sont distribués et s'espacent le plus possible. Deux vendeurs de glace A et B. 1er cas : ils ont des emplacements fixes ; 2ème cas : ils peuvent choisir leur emplacement. La qualité des produits est identique, seul l'emplacement est différent. Y a-t-il équilibre dans le jeu des prix ?
2.3 En 1928, nous sommes en transition entre une conception concurrence parfaite/monopole et une conception plus ouverte de la concurrence monopolistique (différenciation des produits, par exemple via l'emplacement : les produits sont identiques d'un côté par leur qualité, mais différents de l'autre par leur emplacement).
2.4 La différenciation spatiale peut être étendue à d'autres types de différenciation.
2.5 Nous étudions ensuite l'idée de l'équilibre, fondement de la théorie économique [2]. D'Asprement et al. (1979) discutent l'équilibre obtenu par Hotelling. Selon Hotelling, il y a équilibre en prix
2.6 Nous étudions ensuite l'idée de l'équilibre, fondement de la théorie économique [3]. D'Asprement et al. (1979) discutent l'équilibre obtenu par Hotelling. Selon Hotelling, il y a équilibre en prix. La différence entre les prix doit être inférieure à c * (L – a – b).
2.7 Les produits ne sont pas différenciés, il pourrait y avoir une coordination (tacite ou explicité) pour monopoliser la plage avec des prix supérieurs. Mais ici, nous considérons que les deux agents ne coopèrent pas.
2.8 C'est un équilibre à la Cournot, mais ici un jeu en prix où le coût de production est nul. Ici, de même, le coût de production est supposé nul pour faciliter la notation. Cournot : j'optimise mon profit sous l'hypothèse que la quantité mise sur le marché par mon concurrent ne change pas. Ici, j'optimise mon prix sous l'hypothèse que le prix de l'autre ne change pas.
2.9 A l'inverse dans l'exemple de Bertrand, les coûts de transaction sont nuls, ce qui revient à dire que les firmes sont au même emplacement. Le prix est égal au coût marginal.
2.10 Pour Hotelling, dans le 2ème cas (on peut choisir l'emplacement), dProfit / da >0 : le profit augmente si a augmente, donc A va aller vers le centre. De même pour B. Ainsi A et B vont se rencontrer au centre, et on retrouve un équilibre à la Bertrand. Mais alors, pa = pb = 0, et le profit est nul. En effet, le prix doit être alors égal au coût marginal, donc le profit est nul. D'Aspremont et al relèvent ce problème.
2.11 Hotelling relevait lui-même que l'équilibre avec convergence vers le centre vaut seulement si les deux firmes ne sont pas trop proches. Il explique qu'il existe une différenciation minimale entre les firmes dans la réalité. Le résultat social serait plus optimisé si les firmes étaient plus différenciées (les églises, le cidre, etc.).
La critique de d'Aspremont
2.12 1er cas : D'Aspremont et al : il y a absence d'équilibre si a ou b > L/4. En effet, quand A et B sont trop proches, il ne peut y avoir d'équilibre. En effet, il y a alors recherche du centre, et on tombe en Bertrand (d'où profit nul), on a donc intérêt à s'éloigner du centre ; alors on revient vers le centre, d'où absence d'équilibre. Il y a de nouveau équilibre si le coût de transport est non pas c mais c2.
2.13 2ème cas (on peut choisir son emplacement) : l'équilibre existe aussi si (2ème cas) dProfit de a / da < 0 : il y a alors mouvement de A (ou de B) vers les extrémités, et différenciation maximale.
2.14 Comme il n'y a pas équilibre, j'ai intérêt à réduire mon prix pour capter la demande. Les vendeurs de glace alternent entre s'éloigner de centre pour éviter de tomber dans le problème de Bertrand et revenir vers le centre malgré tout.
Synthèse
2.15 A-t-on plutôt une différenciation maximale ou minimale, pour les magasins vendant les mêmes produits ? Elle est minimale dans la réalité : Printemps, Galeries Lafayette sont regroupés ; les marchands de meubles sont regroupés aussi au Faubourg Saint-Antoine à Paris.
2.16 Ce sont les externalités positives : les deux entreprises ne sont pas seulement en concurrence entre elles, mais avec tous les autres produits proposés. En réduisant les coûts de transport pour tous les clients intéressés par exemple par des meubles, les clients n'achèteront pas d'informatique à la place. Cela vaut cependant s'il y a substituabilité des produits entre eux (meubles et voitures par exemple).
2.17 De même pour les centres commerciaux : augmenter la demande totale en réduisant les coûts de transport.
2.18 Pour éviter de tomber dans un jeu à la Bertrand, on pourra différencier les produits en qualité (publicité, caractéristiques intrinsèques des produits).
Dasgupta et al : il y a bien équilibre cependant
2.19 Il y a équilibre sous l'hypothèse que les stratégies soient mixtes, donc non pures : les prix doivent être probabilisés (je ne sais pas exactement quel prix B va m'offrir). B joue un prix haut avec une probabilité de 0.5, et un prix haut avec une probabilité 0.5 aussi. Une stratégie mixte peut être un équilibre de Nash : j'optimise mon profit sous l'hypothèse que le prix de l'autre reste constant. Les deux optimisent et atteignent ainsi in point d'équilibre. Cela est faisable avec des stratégies mixtes (couple d'actions possibles de B, avec probabilité), comme avec des stratégies pures (une seule action possible de B).
2.20 En effet, dans d'Aspremont et al, le profit changeait brutalement avec un changement infinitésimal de distance (fonction de profit discontinue). Dasgupta, avec les stratégies mixtes, réintroduit la continuité de la fonction de profit.
La demande
2.21 Les auteurs établissent la fonction de demande, puis celle de profit (demande * quantité, puisque le coût est supposé nul), puis les stratégies optimales en différenciant la fonction de profit vis-à-vis des prix.
2.22 La fonction de demande de A (Da) vaut :
§ l si pA < pB – c*(L – a – b)
§ 0 si pA > pB + c*(L – a – b)
§ [] + a [4] si IpA – pBI < c * (L – a –b)
2.23 En effet, les consommateurs comparent la différence de prix et l'effort nécessaire pour parcourir la distance vers A ou vers B. Le cas [] est différent : si la différence de prix n'est pas trop grande (inférieure au coût pour parcourir la distance), il y aura lutte pour capter la demande des consommateurs situés entre A et B.
2.24 Nous considérons alors un consommateur X indifférent entre A et B : pA + cx = pB + c(L – a – b – x). Donc Dax = x = (pB – pA + c(L – a –b)) / 2c. Plus pB est haut (mon concurrent a des prix élevés), plus ma demande (si je suis A) sera importante.
2.25 Et Dbx = L – a – b – x = (pA – pB + c(L – a –b)/ 2c. En effet, on considère ici seulement les consommateurs x situés entre A et B.
La fonction de profit
2.26 Profita =
§ LpA si pA < pB – c(L – a – b)
§ 0 si pA > pB + c(L – a – b)
§ (a + (pB – p1 + c(L – a – b)) / 2c)^pA si I pA – pB I< c(L – a – b)
2.27 On suppose ici que pB = L = c = 1 et a = b = 1/3. Il y a donc déséquilibre car a et b > L/4.
2.28 Ainsi ProfitA =
§ pA si pA < 1 – 1(1 – 1/3 – 1/3) et donc si pA < 2/3
§ 0 si pA > 1 + 1(1 – 1/3 – 1/3) et donc si pA < 4/3
§ pA – pA^2 si I pA – 1 I < 1/3 et donc 2/3 < pA < 4/3
2.29 Jusqu'au point 2/3, tout le marché est pour A (pA < pB – 1/3). Tous les consommateurs iront acheter chez A, car le coût de transport sera pour tous inférieur à la différence de prix. Si le prix commence à être de 2/3 ou supérieur, alors partage du marché : lorsque pA = 2/3, A reste moins cher mais pour certains consommateurs le coût du transport devient supérieur à l'avantage de prix. Il y aura alors discontinuité de la fonction de profit.
2.30 Il y a une deuxième discontinuité à pA > 4/3 : le prix de A n'est plus compétitif du tout, et chacun bascule vers B. A aurait alors intérêt à baisser ses prix légèrement, et à nouveau absence d'équilibre.
2.31 Ainsi, comme le disait Hotelling, il y a équilibre seulement si la différence entre les prix n'est pas trop grande. Un problème persiste à l'extérieur de la zone (2/3 ; 4/3), où il n'y aura pas équilibre.
2.32 Il existe deux discontinuités à 2/3 et 4/3, car alors pA = pB – coût de la distance. Il y a alors migration brutale des consommateurs avec un changement infinitésimal.
Equilibre de Nash
2.33 Dasgupta : la condition d'équilibre ne sera pas que les fonctions de profit individuelles soient continues, mais que la somme des deux fonctions de profit soit semi-continue.
2.34 Un équilibre est défini par une paire de prix optimaux (p*A, p*B). Cet équilibre n'est pas certain.
2.35 Il y a ici deux équilibres :
§ Les deux firmes sont au même endroit. C'est le cas de Bertrand, où pA = pB = 0. le produit n'est pas différencié. Un cas banal, non pertinent pour le modèle de Hotelling.
§ Pour a + n < L, les conditions de l'équilibre sont :
– (L + (b – a)/3)^2 > 4/3L (a + 2b)
– (L + (b – a)/3)^2 > 4/3L (b + 2a)
Soit dans le cas symétrique (a = b) : L > 4a, soit a < L/4. a doit donc être suffisamment petit pour qu'il y ait équilibre.
2.36 Si I p*A – p*B I < c(L – a – b), alors Profita ou Profitb = 0. Ce n'est pas une situation soutenable car la firme avec le prix le plus élevé peut améliorer sa situation en posant p*A = p*B. Ce n'est donc pas un équilibre.
2.37 Si I p*A – p*B I = c(L – a – b), alors
§ Si p*A = 0, alors ProfitA = 0 et il n'y a pas équilibre.
§ Si par exemple p*B = p*A + c(L – a – b) et p*A > 0 :
– Ou A obtient la totalité du marché, et B veut alors baisser son prix, d'où absence d'équilibre.
– Ou A obtient seulement une partie du marché (pA = 2/3 dans l'exemple) et il peut améliorer son profit en faisant payer p*A = pB – c(L – a – b) – c, , d'où absence d'équilibre.
2.38 Ainsi, si je veux atteindre un équilibre, il faut se situer dans la situation où aucun des joueurs ne reste avec un profit nul. Il faut un partage du marché pour l'équilibre.
Optimisation
2.39 Dans le cas où la stratégie optimale existe (la différence entre les prix n'est pas trop grande) : I pA – pB I < c(L – a – b). On a alors ProfitA = (a + (pB – pA + c(L – a – b))/2c ) pA et ProfitB = (b + (p1 – pB + c(L – a –b))/2c) pB
2.40 On différencie ensuite les fonctions de profit :
§ Pour A : p*A = (p2 + c(L + a – b))/2
§ Pour B : p*B = (pA + c(L – a + b))/2
2.41 On substitue enfin pB dans p*A :
2.42 p*A = ((pA + c(L – a + b))/2 + c(L + a – b))/2, d'où p*A = cL + 3ca – 3 cb = c(L+ (a-b)/3). Ainsi, plus a est haut plus le prix pA est élevé. En effet, je vais perdre des consommateurs au centre, mais j'aurai une demande captive plus importante qui '
2.43 Et p*B = c(L+(b-a)/3)
2.44 Dans l'exemple, p*A = 1 = p*B. Dans la condition où l'on se trouve, l'optimum est bien pour 1 (sommet de l'arc).
2.45 Il n'est pas nécessaire qu'il y ait égalité des profits pour que l'on se trouve en situation d'équilibre. La condition de base de d'Aspremont et al ne l'impose pas. Simplement, A et B doivent être suffisamment éloignés.
2.46 Si a = 0.2 et b = 0.1, avec L = 1. (1 + (0.1)/ 3)^2 > 4/3 (0.4), la condition 1 est vérifiée ; et (1 + (-0.1)/3)^2 > 4/3 (0.5), la condition 2 est vérifiée.
2.47 Ici, les emplacements sont fixes. On pourra par la suite considérer que les emplacements sont à choisir. Il faudra alors différencier la fonction de profit non plus en fonction du prix, mais en fonction des emplacements.
[1] On Hotelling's "Stability in Competition" C. d'Aspremont, J. Jaskold Gabszewicz, J.-F. Thisse
Econometrica, Vol. 47, No. 5 (Sep., 1979), pp. 1145-1150. Voir le lien.
[2] La théorie économique, pour cette raison, a des difficultés à penser les phénomènes dynamiques.
[3] La théorie économique, pous cette raison, a des difficultés à penser les phénomènes dynamiques.
[4] [] : demande des consommateurs situés entre A et B, et a : demande des consommateurs situés à gauche de A, qui vont s'adresser de toute façon à A.
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